Derivadas — Hoja de práctica de Cálculo I

Grados 11–12 / Universidad Dificultad difícil 10 problemas

La derivada de una función mide su tasa de cambio instantánea: la pendiente de la recta tangente en cualquier punto. La notación incluye f′(x)f'(x), dydx\frac{dy}{dx} y ddx[f(x)]\frac{d}{dx}[f(x)].

Reglas fundamentales: regla de la potencia ddx[xn]=nxn−1\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}; regla de la constante ddx[c]=0\frac{d}{dx}[c] = 0; regla de la suma; regla del producto (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'; regla del cociente; y regla de la cadena para composiciones.

Las derivadas aparecen en todas partes en física (velocidad, aceleración), economía (costo marginal) y optimización. Siempre simplifica antes de derivar cuando sea posible.

Habilidades practicadas

  • Derivación con la regla de la potencia
  • Reglas del producto y del cociente
  • Regla de la cadena para funciones compuestas
  • Encontrar ecuaciones de rectas tangentes
Nombre: Fecha: Período:

Hoja de práctica: Derivadas

Instrucciones: Resuelve cada problema con cuidado. Muestra todo tu trabajo claramente. Escribe tu respuesta final en el espacio proporcionado o en una hoja aparte según se indique.

  1. 1.Encuentra la derivada de f(x)=x2sin⁡xexf(x) = \dfrac{x^2 \sin x}{e^x}.

Derivadas — Hoja de práctica (continuación)

  1. 2.Una partícula se mueve a lo largo de una línea de modo que su posición en el tiempo tt (en segundos) está dada por s(t)=t3−6t2+9t+2s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2 (en metros). Encuentra la velocidad de la partícula en t=2t = 2 segundos.

Derivadas — Hoja de práctica (continuación)

  1. 3.Encuentra dydx\dfrac{dy}{dx} si y=ln⁡(1+cos⁡x1−cos⁡x)y = \ln\left( \sqrt{\dfrac{1 + \cos x}{1 - \cos x}} \right).

Derivadas — Hoja de práctica (continuación)

  1. 4.El radio de una esfera aumenta a razón de 2 cm/s. ¿Con qué rapidez aumenta el volumen cuando el radio mide 5 cm? (Volumen de una esfera: V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3)
  2. 5.Encuentra la derivada de g(x)=arctan⁡(x1+x2)g(x) = \arctan\left( \dfrac{x}{1 + x^2} \right).

Derivadas — Hoja de práctica (continuación)

  1. 6.Una escalera de 10 pies de largo descansa contra una pared vertical. Si la base de la escalera se desliza alejándose de la pared a razón de 1 pie/s, ¿con qué rapidez se desliza hacia abajo la parte superior de la escalera cuando la base está a 6 pies de la pared?

Derivadas — Hoja de práctica (continuación)

  1. 7.Encuentra f′(x)f'(x) si f(x)=xsin⁡xf(x) = x^{\sin x} para x>0x > 0.

Derivadas — Hoja de práctica (continuación)

  1. 8.Un tanque cónico (con el vértice hacia abajo) tiene un radio de 3 m en la parte superior y una altura de 6 m. Se bombea agua al tanque a razón de 2 m3^3/min. ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando esta tiene 4 m de profundidad? (Volumen de un cono: V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h)

Derivadas — Hoja de práctica (continuación)

  1. 9.Encuentra la derivada de h(x)=sec⁡−1(e2x)h(x) = \sec^{-1}(e^{2x}).

Derivadas — Hoja de práctica (continuación)

  1. 10.Un avión que vuela horizontalmente a una altitud de 1 milla y una velocidad de 500 mi/h pasa directamente sobre una estación de radar. Encuentra la razón a la que aumenta la distancia del avión a la estación cuando está a 2 millas de la estación.

Clave de respuestas

  1. 1.
    Usando la regla del cociente: f′(x)=(2xsin⁡x+x2cos⁡x)ex−x2sin⁡x⋅exe2x=2xsin⁡x+x2cos⁡x−x2sin⁡xexf'(x) = \frac{(2x\sin x + x^2\cos x)e^x - x^2\sin x \cdot e^x}{e^{2x}} = \frac{2x\sin x + x^2\cos x - x^2\sin x}{e^x}
    Respuesta final: f′(x)=2xsin⁡x+x2cos⁡x−x2sin⁡xexf'(x) = \dfrac{2x \sin x + x^2 \cos x - x^2 \sin x}{e^x}
  2. 2.
    v(t)=s′(t)=3t2−12t+9v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9. En t=2t=2, v(2)=3(4)−12(2)+9=12−24+9=−3v(2) = 3(4) - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 m/s (moviéndose hacia abajo).
    Respuesta final: −3-3 m/s
  3. 3.
    Simplifica: y=12ln⁡(1+cos⁡x1−cos⁡x)=12[ln⁡(1+cos⁡x)−ln⁡(1−cos⁡x)]y = \frac{1}{2} \ln\left( \frac{1+\cos x}{1-\cos x} \right) = \frac{1}{2} [\ln(1+\cos x) - \ln(1-\cos x)]. Entonces y′=12(−sin⁡x1+cos⁡x−sin⁡x1−cos⁡x)=12(−sin⁡x(1−cos⁡x)−sin⁡x(1+cos⁡x)1−cos⁡2x)=12(−2sin⁡xsin⁡2x)=−csc⁡xy' = \frac{1}{2} \left( \frac{-\sin x}{1+\cos x} - \frac{\sin x}{1-\cos x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-\sin x(1-\cos x) - \sin x(1+\cos x)}{1-\cos^2 x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-2\sin x}{\sin^2 x} \right) = -\csc x.
    Respuesta final: −csc⁡x-\csc x
  4. 4.
    dVdt=4πr2drdt\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}. Dado drdt=2\frac{dr}{dt} = 2 cm/s, r=5r=5: dVdt=4π(25)(2)=200π\frac{dV}{dt} = 4\pi (25)(2) = 200\pi cm3^3/s.
    Respuesta final: 200π200\pi cm3^3/s

Clave de respuestas (continuación)

  1. 5.
    g′(x)=11+(x1+x2)2⋅(1)(1+x2)−x(2x)(1+x2)2=11+x2(1+x2)2⋅1+x2−2x2(1+x2)2=1(1+x2)2+x2(1+x2)2⋅1−x2(1+x2)2=(1+x2)2(1+x2)2+x2⋅1−x2(1+x2)2=1−x2(1+x2)2+x2g'(x) = \frac{1}{1 + \left( \frac{x}{1+x^2} \right)^2} \cdot \frac{(1)(1+x^2) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1 + \frac{x^2}{(1+x^2)^2}} \cdot \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{\frac{(1+x^2)^2 + x^2}{(1+x^2)^2}} \cdot \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{(1+x^2)^2}{(1+x^2)^2 + x^2} \cdot \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2 + x^2}.
    Respuesta final: g′(x)=1−x2(1+x2)2+x2g'(x) = \dfrac{1 - x^2}{(1+x^2)^2 + x^2}
  2. 6.
    Sea xx la distancia de la pared a la base, y yy la altura de la parte superior sobre la pared. x2+y2=100x^2 + y^2 = 100. Deriva: 2xdxdt+2ydydt=0⇒dydt=−xydxdt2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \frac{dx}{dt}. Cuando x=6x=6, y=8y=8, dxdt=1\frac{dx}{dt}=1: dydt=−68(1)=−34\frac{dy}{dt} = -\frac{6}{8}(1) = -\frac{3}{4} pies/s (se desliza hacia abajo a 0.75 pies/s).
    Respuesta final: −34-\frac{3}{4} pies/s
  3. 7.
    f(x)=esin⁡xln⁡xf(x) = e^{\sin x \ln x}. Entonces f′(x)=esin⁡xln⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)=xsin⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)f'(x) = e^{\sin x \ln x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right) = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right).
    Respuesta final: f′(x)=xsin⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)f'(x) = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)

Clave de respuestas (continuación)

  1. 8.
    Por triángulos semejantes, rh=36=12\frac{r}{h} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, así que r=h2r = \frac{h}{2}. Entonces V=13π(h2)2h=π12h3V = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{h}{2} \right)^2 h = \frac{\pi}{12} h^3. Deriva: dVdt=π4h2dhdt\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{4} h^2 \frac{dh}{dt}. Dado dVdt=2\frac{dV}{dt}=2, h=4h=4: 2=π4(16)dhdt⇒dhdt=24π=12π2 = \frac{\pi}{4}(16) \frac{dh}{dt} \Rightarrow \frac{dh}{dt} = \frac{2}{4\pi} = \frac{1}{2\pi} m/min.
    Respuesta final: 12π\frac{1}{2\pi} m/min
  2. 9.
    h′(x)=1∣e2x∣(e2x)2−1⋅2e2x=2e2xe2xe4x−1=2e4x−1h'(x) = \frac{1}{|e^{2x}| \sqrt{(e^{2x})^2 - 1}} \cdot 2e^{2x} = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} \sqrt{e^{4x} - 1}} = \frac{2}{\sqrt{e^{4x} - 1}}.
    Respuesta final: h′(x)=2e4x−1h'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{e^{4x} - 1}}
  3. 10.
    Sea xx la distancia horizontal de la estación al avión, y ss la distancia de la estación al avión. s2=x2+12s^2 = x^2 + 1^2. Deriva: 2sdsdt=2xdxdt⇒dsdt=xsdxdt2s \frac{ds}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} \Rightarrow \frac{ds}{dt} = \frac{x}{s} \frac{dx}{dt}. Cuando s=2s=2, x=4−1=3x = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}, dxdt=500\frac{dx}{dt}=500: dsdt=32(500)=2503\frac{ds}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}(500) = 250\sqrt{3} mi/h.
    Respuesta final: 2503250\sqrt{3} mi/h

Errores comunes que evitar

  • Olvidar la regla de la cadena en funciones anidadas
  • Errores de la regla del producto (derivar solo un factor)
  • Dejar exponentes negativos sin convertir antes de aplicar la regla de la potencia
  • Confundir la tasa de cambio promedio con la derivada instantánea

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Última actualización: 2026

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