Ecuaciones cuadráticas — Hoja de práctica de Álgebra I

Grados 9–10 Dificultad media 10 problemas

Una ecuación cuadrática es cualquier ecuación que puede escribirse en la forma $ax^2 + bx + c = 0$ , donde $a \neq 0$ . Las ecuaciones cuadráticas aparecen en el álgebra, la física y la ingeniería siempre que las cantidades cambian a ritmos acelerados: el movimiento de proyectiles, la optimización de áreas y el modelado de ganancias dependen de ellas.

Hay tres métodos principales de resolución: factorizar (cuando el trinomio se factoriza de forma limpia), completar el cuadrado (útil para convertir a la forma de vértice) y la fórmula cuadrática $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ , que siempre funciona cuando el discriminante $b^2 - 4ac \geq 0$ .

Antes de resolver, verifica si la ecuación ya está en forma estándar. Combina términos semejantes, mueve todo a un lado e identifica $a$ , $b$ y $c$ . Siempre verifica las soluciones sustituyéndolas de nuevo en la ecuación original.

Habilidades practicadas

Escribir ecuaciones en forma estándar $ax^2 + bx + c = 0$
Factorizar trinomios y diferencia de cuadrados
Aplicar la fórmula cuadrática
Verificar soluciones por sustitución

Nombre: Fecha: Período:

Hoja de práctica: Ecuaciones cuadráticas

Instrucciones: Resuelve cada problema con cuidado. Muestra todo tu trabajo claramente. Escribe tu respuesta final en el espacio proporcionado o en una hoja aparte según se indique.

1.Resuelve factorizando: $x^2 - 5x - 24 = 0$ .

Ecuaciones cuadráticas — Hoja de práctica (continuación)

2.Resuelve factorizando: $2x^2 + 7x - 15 = 0$ .
3.Resuelve con la fórmula cuadrática: $x^2 + 6x + 3 = 0$ . Escribe las respuestas en su forma radical más simple.

Ecuaciones cuadráticas — Hoja de práctica (continuación)

4.Resuelve con la fórmula cuadrática: $3x^2 - 2x - 4 = 0$ . Escribe las respuestas en su forma radical más simple.
5.Resuelve completando el cuadrado: $x^2 - 8x + 1 = 0$ .

Ecuaciones cuadráticas — Hoja de práctica (continuación)

6.Resuelve completando el cuadrado: $2x^2 + 12x - 5 = 0$ .
7.El producto de dos enteros positivos consecutivos es 132. Encuentra los enteros.

Ecuaciones cuadráticas — Hoja de práctica (continuación)

8.Un jardín rectangular tiene un largo que es 4 pies mayor que su ancho. El área del jardín es de 96 pies cuadrados. Encuentra las dimensiones del jardín.

Ecuaciones cuadráticas — Hoja de práctica (continuación)

9.Se lanza una pelota hacia arriba desde una altura de 6 pies con una velocidad inicial de 40 pies por segundo. La altura $h$ (en pies) después de $t$ segundos está dada por $h = -16t^2 + 40t + 6$ . ¿Cuánto tarda la pelota en tocar el suelo? Redondea a la centésima de segundo más cercana.

Ecuaciones cuadráticas — Hoja de práctica (continuación)

10.Resuelve la ecuación: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ . (Pista: usa la sustitución $u = x^2$ .)

Clave de respuestas

1.

Factorizando: $(x - 8)(x + 3) = 0$

Respuesta final: $x = 8$ o $x = -3$
2.

Factorizando: $(2x - 3)(x + 5) = 0$

Respuesta final: $x = \frac{3}{2}$ o $x = -5$
3.

Fórmula cuadrática: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -3 \pm \sqrt{6}$

Respuesta final: $x = -3 + \sqrt{6}$ o $x = -3 - \sqrt{6}$
4.

Fórmula cuadrática: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

Respuesta final: $x = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$ o $x = \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$
5.

Completando el cuadrado: $x^2 - 8x = -1$ , $x^2 - 8x + 16 = 15$ , $(x - 4)^2 = 15$ , $x - 4 = \pm \sqrt{15}$ , $x = 4 \pm \sqrt{15}$

Respuesta final: $x = 4 \pm \sqrt{15}$

Clave de respuestas (continuación)

6.

Divide por 2: $x^2 + 6x - \frac{5}{2} = 0$ , $x^2 + 6x = \frac{5}{2}$ , $x^2 + 6x + 9 = \frac{5}{2} + 9 = \frac{23}{2}$ , $(x + 3)^2 = \frac{23}{2}$ , $x + 3 = \pm \sqrt{\frac{23}{2}} = \pm \frac{\sqrt{46}}{2}$ , $x = -3 \pm \frac{\sqrt{46}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{46}}{2}$

Respuesta final: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{46}}{2}$
7.

Sean los enteros $n$ y $n+1$ . $n(n+1) = 132$ , $n^2 + n - 132 = 0$ , $(n + 12)(n - 11) = 0$ , $n = -12$ o $n = 11$ (positivo, así que $n=11$ ). Los enteros son 11 y 12.

Respuesta final: 11 y 12
8.

Sea el ancho $= w$ y el largo $= w+4$ . $w(w+4) = 96$ , $w^2 + 4w - 96 = 0$ , $(w + 12)(w - 8) = 0$ , $w = -12$ o $w = 8$ (positivo, así que $w=8$ ). Dimensiones: ancho = 8 pies, largo = 12 pies.

Respuesta final: ancho = 8 pies, largo = 12 pies
9.

Iguala $h = 0$ : $-16t^2 + 40t + 6 = 0$ , divide por $-2$ : $8t^2 - 20t - 3 = 0$ , fórmula cuadrática: $t = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 96}}{16} = \frac{20 \pm \sqrt{496}}{16} = \frac{20 \pm 4\sqrt{31}}{16} = \frac{5 \pm \sqrt{31}}{4}$ , raíz positiva: $t = \frac{5 + \sqrt{31}}{4} \approx \frac{5 + 5.5678}{4} \approx 2.64$ segundos.

Respuesta final: aproximadamente 2.64 segundos

Clave de respuestas (continuación)

10.

Sea $u = x^2$ . Entonces $u^2 - 13u + 36 = 0$ , $(u - 4)(u - 9) = 0$ , $u = 4$ o $u = 9$ , $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ , $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ . Soluciones: $x = 2, -2, 3, -3$ .

Respuesta final: $x = 2, -2, 3, -3$

Errores comunes que evitar

Olvidar igualar la ecuación a cero antes de factorizar
Errores de signo al identificar $b$ en la fórmula cuadrática
Perder una de las dos soluciones del $\pm$
Factorizar cuando el trinomio no es factorizable sobre los enteros

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Última actualización: 2026

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